초월수 document_id A220517000008

초월수(超越數, Transcendental number)는 수학에서 대수학적이지 않은 수를 의미한다. 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수이자 유리수인 계수를 가진 유한한 0이 아닌 근을 의미한다. 가장 잘 알려진 초월수는 pi(원주율)과 e(자연로그의 밑)이다. 현재까지는 적은 양의 초월수들만 알려져 있다. 이는 어떤 주어진 수가 초월수인지 보여주는 것은 극히 어려울 수 있기 때문이다. 그러나 초월수들은 드물지 않다. 실제로 대수적 수들이 가산 집합을 구성하는 반면 실수의 집합, 복소수의 집합은 모두 비가산 집합이므로 거의 모든 실수들과 복소수들은 초월적이다. 또한 모든 유리수가 대수학적이기 때문에 모든 초월실수("실제 초월수" 또는 "초월무리수"라고도 함)는 무리수이다. 그러나 모든 무리수가 초월적인 것은 아니다. 따라서 실수의 집합은 겹치지 않는 유리수, 대수적인 무리수, 초월적인 실수로 구성된다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 1682년에 발표한 자신의 논문에서 수학적 개념을 처음 사용했는데 1=sin ''x''가 x의 대수함수가 아니라는 것을 증명했다. 레온하르트 오일러는 18세기에 "초월수"를 현대적 의미로 정의한 최초의 수학자로 여겨지고 있다. 요한 람베르트는 1768년에 발표한 자신의 논문에서 e(자연로그의 밑)와 pi(원주율) 둘 다 초월수라고 추측했고 무리수인 pi의 초월수 증명에 대한 대략적인 구성을 제안했다. 조제프 리우빌은 1844년에 초월수의 존재를 처음으로 증명했고 1851년에 리우빌 수와 같은 초월수의 사례를 제시했다. 1874년에는 게오르크 칸토어가 대수적 수들은 셀 수 있고 실수는 셀 수 없다는 사실을 증명했다. 그는 또한 초월수를 구성하는 새로운 방법을 제시했다. 비록 이것이 대수적 수의 계산 가능성에 대한 그의 증명에 의해 이미 암시되었지만 칸토어는 실수들만큼 초월적인 숫자들이 있다는 것을 증명하는 구성을 공개했다. 칸토어의 연구는 초월수의 보편성을 확립했다. 1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 π의 초월성에 대한 최초의 증명을 담은 책을 출판했다. 그는 먼저 a가 0이 아닌 대수적 수일 경우 1=''e''^''a''가 초월수라는 것을 증명했다. 그렇다면 1=''e''^''i''{{pi = −1}}은 대수적이므로(오일러의 항등식 참조), 1=''i''{{pi}}는 초월수이어야 한다. 그러나 1=''i''가 대수적 수이기 때문에 π는 초월수이어야 한다. 이러한 접근 방식은 카를 바이어슈트라스에 의해 일반화되었는데 오늘날에는 린데만-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. π의 초월은 원적문제와 같이 가장 유명한 것을 포함하여 컴퍼스와 자 작도를 포함한 여러 고대 기하학 구조들이 갖고 있던 불가능성의 증거를 가능하게 했다. 1900년에는 다비트 힐베르트가 힐베르트의 7번째 문제인 초월수에 대해 영향력 있는 질문을 던졌다. "a가 0이나 1이 아닌 대수적 수이고 b가 무리수인 대수적 수라면 반드시 1=''a''^''b''은 초월수인가?" 이에 대한 해답은 1934년에 겔폰트-슈나이더 정리를 통해 제공되었다. 이 연구는 1960년대에 앨런 베이커가 진행한 (대수 수) 로그에서 선형 형태의 하한에 대한 연구를 통해 확장되었다. <heading>특성 </heading> 초월수의 집합은 셀 수 없이 무한하다. 유리수인 계수를 갖는 다항식은 셀 수 있고 각각의 다항식은 유한한 근을 가지기 때문에 대수적 수도 셀 수 있어야 한다. 그러나 칸토어는 대각선 논법을 통해 실수가 (그리고 복소수또한) 셀 수 없다는 것을 증명했다. 그리고 실수 집합은 대수적 수 집합과 초월수 집합의 합집합이기 때문에, 초월수 집합은 셀 수 없다. 어떠한 유리수도 초월적이지 않고 모든 초월실수는 무리수이다. 무리수는 2차 무리수 및 그 외의 형태를 가진 대수적 무리수를 포함하여 모든 실제 초월수와 대수적 수의 부분집합을 포함한다. 단일 변수의 일정하지 않은 대수함수는 초월 인수에 적용될 때 초월 값을 산출한다. 단일 변수의 대수함수에서 초월수는 다른 초월수에 대응된다. 예를 들어 pi가 초월적이라는 것을 아는 것으로부터 2}}, (''π''-3)8}}}}과 같은 숫자들이 초월수임을 수 있다. 5+7|4}}}}도 초월수이다. 그러나 여러 변수의 대수함수는 초월수에 적용될 때 대수적 수를 산출할 수 있다. 예를 들어 pi와 1=(1 − ''π'')는 둘 다 초월적이지만 1=''π'' + (1 − ''π'') {{= 1}}은 그렇지 않다. 예를 들어 1=''e'' + ''π''가 초월적인지는 알 수 없지만, 1=''e'' + ''π''와 eπ 가운데 적어도 하나는 초월적인 것이어야 한다. 보다 일반적으로 어떤 2가지 초월수 a와 b의 경우 적어도 1=''a'' + ''b''와 ab 가운데 하나는 초월수여야 한다. 그 이유는 다항식 1=(''x'' − ''a'')(''x'' − ''b'') {{= ''x''² − (''a'' + ''b'')''x'' + ''ab''}}을 고려해보면 알 수 있다. 만약 1=(''a'' + ''b'')와 ab가 둘 다 대수적이라면 이것은 대수적 계수를 갖는 다항식이 될 것이다. 대수적 수는 대수적으로 닫힌 체를 형성하기 때문에 다항식인 a와 b의 근은 대수적이어야 한다는 것을 의미한다. 하지만 이때 모순이 생긴다. 따라서 적어도 하나의 계수가 초월적이라는 것을 알 수 있다. 계산 불가능한 수는 초월수의 진부분집합이다. 모든 리우빌 수는 초월적이지만 그 반대는 아니다. 모든 리우빌 수는 지속적인 연분수에서 제한 없는 부분적인 몫을 가져야 한다. 계산 인수를 사용하면 제한된 부분적인 몫을 가진 초월수가 존재하므로 리우빌 수가 아니라는 것을 증명할 수 있다. floor</math>는 바닥 함수이다.