수렴급수 document_id A220517000294

수학에서 급수란 수열을 구성하는 항들을 합으로 나타낸 것을 말한다. 급수의 수렴에 관한 논의에서 급수는 무한급수를 말하며, 주요 문제는 주어진 급수의 수렴여부와 수렴할 경우 그 합에 관한 것이다. 수렴급수라고 해도 그 합이 알려져 있지 않은 경우가 많다. 와 같이 쓸 수 있으면 <math>sum_{j=1}^{infty}a_j,</math>를 수렴급수 또는 급수 <math>sum_{j=1}^{infty}a_j,</math>이 <math>S,</math>로 수렴한다고 한다. 이때 <math>S,</math>를 급수 <math>sum_{j=1}^{infty}a_j,</math>의 합(sum)이라고 한다. 와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 발산급수(divergent series)라고 한다. <heading>렴급수와 발산급수의 예 >> 수렴정리</heading> 두 수렴급수 <math> sum_{j=1}^{infty}a_j,</math>, <math> sum_{j=1}^{infty}b_j,</math>의 합을 각각 <math>A,, B,</math>라고 하면 다음이 성립한다. <heading>렴(발산)판정법</heading> 급수의 수렴여부를 판정하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 그러나 어떤 한 가지 방법으로 모든 급수의 수렴여부를 판정하는 것은 어려운 일이다. 또한 수렴여부의 판정이 수렴급수의 합에 대한 정보를 주는 것이 아니므로 수렴급수의 합을 구하는 것은 또 다른 문제이다. ightarrowinfty}a_n=0,</math>이 아닌 급수 <math>sum_{n=1}^{infty}a_n,</math>는 발산급수이다. 이를 이용하여 급수의 발산을 판정하는 방법을 발산판정법(divergence test)이라고 한다. eq0,</math>이므로 발산급수이다. ightarrowinfty}a_n=0,</math>을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다. 적분판정법(integral test): 주어진 급수를 이상적분과 연계시켜 수렴여부를 판정하는 방법이다. 이면 <math>sum_{n=1}^infty a_n,</math>는 수렴급수이다. 그러나 위 이상적분이 존재하지 않으면 <math>sum_{n=1}^infty a_n,</math>는 발산급수이다. 이외에도 극한비교판정법, 교대급수에 대한 수렴판정법, 코시의 수렴판정법, 디리클레 판정법, 아벨의 판정법 등이 있다. <heading>대수렴과 조건수렴</heading> 급수 <math> sum_{n=1}^{infty}a_n,</math>의 모든 항이 음이 아닌 값을 가지면(<math> a_nge 0,</math>), <math> sum_{n=1}^{infty}a_n,</math>을 양항급수라고 한다. 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법은 모두 양항급수의 수렴여부를 판정하는 방법이다. 절대수렴의 개념은 양항급수가 아닌 경우에도 이들 판정법을 이용하여 급수의 수렴여부를 판정할 수 있게 해준다. ight|=1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdots,</math>는 발산하므로 <math> sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}frac{1}{n},</math>은 절대수렴하지 않는다. 그러므로 <math> sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}frac{1}{n},</math>은 조건수렴하는 급수이다.