미분 형식 document_id A220623003769

미분기하학에서, 미분 형식(微分形式, differential form)은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 dx, dy 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, p차원의 다양체에서는 p-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다. 정의 을 얻는다. 그 단면을 M 위의 미분 형식이라고 한다. 미분 형식의 공간을 다음과 같이 표기하자. 외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다. 이 된다. 무한 차원 다양체 위의 미분 형식 국소 볼록 공간 E가 주어졌을 때, 국소적으로 E와 위상 동형이며, 매끄러운 전이 함수를 갖는 국소 좌표계를 갖춘 하우스도르프 공간을 E-다양체라고 하자. 이 경우 마찬가지로 미분 형식의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, 위상 벡터 공간의 위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에, 접다발은 잘 정의되지만 일반적으로 공변접다발을 잘 정의하기 힘들며, 일반적으로 미분 형식을 어떤 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면으로 정의할 수 없다. 이 때문에, 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야만 한다. 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이 경우 쐐기곱과 외미분이 잘 정의된다. 연산 미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱과 내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다. 성분으로 적으면 다음과 같다. 이다. 은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다. 이다. 이다. 여기서 int d^nlambda는 n차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 -1배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다. anglecolonOmega^ullet(M) imesOmega^ullet(M) oOmega^0(M)을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. angle=det(g(eta_i,eta_j))_{ij}}}이다. 이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다. angle=frac1{n!}(det g)epsilon_{i_1dots i_n}epsilon_{j_1dots j_n}g^{i_1j_1}dots g^{i_nj_n}=1. 호지 쌍대 이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다. 성분으로 쓰면 다음과 같다. 이다. 역사 미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다. 응용 다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다.