파라메트릭 표면을 생성하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스 document_id A220623047320

CATIA 라는 상표로 출원인에 의해 제공된 것과 같은 부품 또는 부품의 어셈블리의 설계를 위해 수많은 시스템 및 프로그램이 시장에서 제공된다. 소위 CAD (computer-aided design) 시스템은 사용자가 부품 또는 부품의 어셈블리의 복잡한 3-차원 (3D) 모델을 구성하고 조작할 수 있도록 한다. 3D 컴퓨터 그래픽의 생성은, 모델링 및 프로세스 단계 (베이스 메시의 세분, 파라메트릭 표면으로의 전환, 렌더링...) 를 포함하는 다양한 단계를 수반한다. 어셈블리의 모델을 생성시키기 위해 수많은 상이한 모델링 기술이 이용될 수 있다. 이들 기술은 입체 모델링, 와이어-프레임 모델링, 및 표면 모델링을 포함한다. 입체 모델링 기술은, 예를 들어, 3D 모델이 상호연결된 에지들 및 면들의 집합체 (collection) 인, 위상 3D 모델을 제공한다. 기하학적으로, 3D 입체 모델은 폐쇄 스킨 (closed skin) 을 정의하는 트리밍된 또는 범위가 정해진 표면의 집합체이다. 트리밍된 표면은 에지들에 의해 경계지어진 위상 면에 대응한다. 폐쇄 스킨은 부품의 재료로 채워진 3D 공간의 경계지어진 영역을 정의한다. 한편, 와이어-프레임 모델링 기술은 모델을 간단한 3D 선의 집합체로 표현하도록 이용될 수 있고, 반면에, 표면 모델링은 모델을 외부 표면의 집합체로 표현하도록 이용될 수 있다. CAD 시스템은 이들을 파라메트릭 모델링 기술과 같은 다른 모델링 기술과 조합할 수도 있다. 그리하여, CAD 시스템은 에지 또는 선, 어떤 경우에는 면을 사용하여 모델 오브젝트의 표현을 제공한다. 모델 오브젝트는 다수의 선 또는 에지를 포함하고; 모델 오브젝트는 예를 들어, NURBS (non-uniform rational B-splines), Bezier 커브 또는 커브를 묘사하는 다른 알고리즘의 다양한 방식의 시스템으로 표현될 수도 있다. 프로세스 단계를 고려하면, CAD 프로그램은 일반적으로 오브젝트의 모델링시에 베이스 메시를 사용한다. 베이스 메시는 삼각형 또는 사각형과 같은 상호 연결된 기본적인 다각형의 네트워크이다. 베이스 메시는 요구되는 모델을 얻기 위해 설계 도중에 사용자에 의해 변형되고, 그 후, NURBS 또는 B-스플라인 (B-Spline) 와 같은 복수의 파라메트릭 표면으로 전환된다. 모델 제품을 고려하면: 현대의 소비자 제품은 평면, 박스 및 실린더와 같은 간단한 분석용 표면을 초월하는 복잡한 것, 평활하게 흐르는 형상인 것을 종종 특징으로 하는 경우가 있다. 통상, 이러한 제품은 스플라인 커브 및 표면 등을 이용하여 모델링된다. 제품을 설계할 때, 오브젝트 표면의 평활도는 주요 관심사이다. 따라서, 3D 모델러는 일반적으로 평활한 표면을 생성시키기 위한 툴의 모듬을 갖는다. 이하, "만곡 (curvature)" 은 커브 또는 표면이 완전한 일직선 또는 완전한 평탄성으로부터 벗어나는 정도를 나타내는 기하학적 용어로서 이용될 것이다. 일반적으로, 만곡은 국부적인 상접 반경의 역으로서 측정된다. 따라서, 커브는 약간만 구부러졌을 때에는 낮은 만곡, 및 큰 반경을 가지며, 크게 구부러진 경우 높은 만곡, 및 작은 반경을 가진다. 만곡은 호 (arc), 원주 (circle), 또는 거기에 기초하는 표면에 대해 일정하지만; 스플라인 (및 거기에 기초하는 표면) 과 같은 보다 복잡한 커브의 만곡은 그 커브의 길이에 따라서 연속적으로 변화한다. 또한, 용어 "연속성 (continuity)" 은 커브에 따른 점들 또는 표면상의 점들 사이 및 인접한 커브들 또는 표면들 사이에서 오프셋 (또는 관계) 을 설명하기 위해 이용된다. 이러한 관계는 일반적으로: C0, C1 및 C2 인 연속성의 상이한 레벨이 될 수도 있다. C0 는 (인접한 커브들/표면들의 경우에서와 같이) 위치 연속성만을 나타낸다. 이 경우, 커브는 C0 점에서의 꼬임을 나타낸다. 유사하게, 표면은 C0 솔기 (seam) 에 따른 날카로운 (sharp) 주름을 가진다. 인접한 커브들 및 표면들은 서로 맞닿지만, 이들은 어떠한 만곡 유사성도 가지지 않는다. C1 은 탄젠트 (tangent) 연속성을 통해서 증가된 연속성 레벨을 나타내고, C2 는 만곡 연속성을 부가한다. 커브에서 하나의 점의 양 측면에서의 만곡이 동일한 경우, 커브는 솔기가 없다. 사실상, 본 명세서에서는, 당업계에 공지된 바와 같이, 수학적인 관점에서 약간 상이한 G0, G1 및 G2 "기하학적" 연속성을 참조하여 설명된다. 예를 들어, 2 개의 접합 커브 세그먼트는, 각각의 커브의 n 번째 파생물이 접합부에서 "동일한 방향" 을 가지는 경우에, Gn 연속성을 가진다 (몇몇 매트릭스에 의해 정의된 비례는 충분하지만, 그 품질은 보장되지 않는다). 그 결과, Cn 은 Gn 을 내포하지만, 이들의 상호 대등은 필수적으로 사실은 아니다. 일반적으로, 표면 모델링의 중심 기술 중 하나는 구분적으로 낮은-오더 (low-order) 의 대수적인 표면 또는 함축적 패치를 사용한다. 패치는 제어 포인트의 그리드를 통해서 제어된 파라메트릭 기본 표면이고, 그로부터, 패치는 변형될 수 있다. 패치를 사용하는데 있어서 중요한 이슈는, 패치는 패치 경계선을 따라서 기하학적 연속성을 확보하도록 충분하게 접합되어야만 한다는 것이다. 통상, 패치 셀은 주어진 연속성 요구사항에 국부적인 만곡을 적응시키도록 반복적으로 세분된다. (컴퓨터 그래픽과 같은) 수많은 어플리케이션에서, Catmull-Clark 과 같은 세분 표면은 베이스 메시로부터 파생된 표면과 비슷하게 이용된다. 특히, Catmull-Clark 세분 표면은 이제 평활한 프리-형상의 표면 모델링을 위한 표준이다. 세분 표면을 사용하여 임의의 메시에 의해, 즉, 임의의 토폴로지를 가지는 평활한 표면을 생성한다. 세분 표면은 무한 정제 프로세스의 한계로서 정의된다. 주요 개념은 초기의 다각형 메시를 반복적으로 정제함으로써 행해지는 정제이고, 결과 세분 표면으로 수렴되는 메시의 시퀀스가 생성된다. 각각의 신규 세분 단계는 더욱 많은 다각형 엘리먼트를 가지고 더욱 평활한 신규의 메시를 생성시킨다. 특히, Catmull-Clark 세분 표면은 bi-cubic 균일 B-스플라인의 일반화로 알 수 있다. 중요한 요점은, 일반화된 메시는 주로 4 변형으로 이루어지므로, 통상적인 버텍스 (vertex) 의 기대 벨런스 (valence; 또는 배위수) 는 4 라는 것이다. 또한, 개방 및 폐쇄 버텍스 사이에서 구별이 이루어진다. 개방/폐쇄 버텍스들은 당업계에 공지된 개념이다. 간단히 말해서, 버텍스 v 가 에지 E1, E2, En+1 에 의해 둘러싸이고 접합된다고 가정하면, En+1=E1 이 되고, 상기 버텍스는 에지들 중 어느 것도 날카로운 에지가 아닌 경우에는 폐쇄된다고 고려된다. 이 분야에서 다른 개념은 내부/외부 버텍스이다. 버텍스는 그 위치, 즉, 메시의 내부에 있는지 또는 경계선상에 있는지 기초하여 "내부" 또는 "외부" 로 표현된다. 이하, 전술한 정의들을 염두에 두고, 용어 "특별한 버텍스 (extraordinary vertex)" 는 - 벨런스 2 를 가지는 외부 버텍스; - 벨런스 3 을 가지는 외부 버텍스; 또는 - 벨런스 4 를 가지는 내부 버텍스와는 다른 버텍스를 나타내도록 이용된다. 따라서, 벨런스 3 의 내부 버텍스 또는 벨런스 5 의 버텍스는 특별한 버텍스이다.