라틴 방진 document_id A220623081428

조합론에서, 라틴 방진(Latin方陣, Latin square)은 각 행과 열이 각각 주어진 알파벳의 문자를 모두 중복되지 않게 포함하는 정사각 행렬이다. <heading>정의 </heading> 라틴 방진의 개념은 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다. <heading>행렬을 통한 정의 </heading> 다음이 주어졌다고 하자. 이다. <heading>순서쌍을 통한 정의 </heading> 알파벳 <math>Sigma={1,2,3,dotsc,n}</math>를 생각하자. 이다. e(a',c')</math>이다. 이다. 이다. 즉, 라틴 방진의 개념은 유한 유사군의 개념과 사실상 동치이다. 이다. <heading>연산 >> 동위 라틴 방진 </heading> 임의의 라틴 방진 <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 만약 같은 알파벳 위의 두 라틴 방진을 위와 같은 연산들을 가하여 같게 만들 수 있다면, 이 두 라틴 방진이 서로 동위(同位, isotopic)라고 한다. 이에 따라, 알파벳 <math>Sigma=(a_1,a_2,dotsc,a_n)</math>가 전순서 집합일 때, 임의의 <math>Sigma</math>-라틴 방진에 순열을 가해 첫 행과 첫 열이 둘 다 순서대로 배열되게 놓을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴이다. 이를 표준형 라틴 방진(標準型Latin方陣, normal-form/standard-form/reduced Latin square)이라고 한다. 역시 라틴 방진을 이루며, 이 경우 <math>M'</math>과 <math>M</math>이 서로 켤레(conjugate)라고 한다. 특히, 예를 들어 <math>sigma=(12)</math>일 경우 이는 행렬 표현에서 정사각 행렬의 전치 행렬을 취하는 것에 해당한다. 으로 표기한다. e N</math>일 경우 <math>Mperp N</math>일 때, <math>mathcal M</math>을 상호 직교 라틴 방진 집합(set of mutually orthogonal Latin squares, 약자 MOLS)이라고 한다. 특히, 크기가 2인 상호 직교 라틴 방진 집합, 즉 직교하는 두 라틴 방진의 순서쌍 <math>(M,N)</math>을 직교 라틴 방진 (쌍)(直交Latin方陣順序雙, (pair of) orthogonal Latin square(s)) 또는 그레코라틴 방진(Greco-Latin方陣, Greco–Latin square)이라고 한다. <heading>성질 >> 라틴 방진의 수 </heading> 라틴 방진의 수는 다음과 같다. 여기서, 주어진 크기 <math>n</math>의 라틴 방진의 수(즉, 넷째 열)는 표준형 라틴 방진의 수(즉, 셋째 열) × <math>n!(n-1)!</math>이다. 크기 <math>n</math>의 라틴 방진의 수를 <math>L_n</math>이라고 하면, 다음이 성립한다. 또한, 다음과 같은 <math>L_n</math>에 대한 공식이 존재한다. <heading>직교 라틴 방진의 존재 </heading> 임의의 양의 정수 <math>nge2</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. otin{2,6}</math>이다. 다시 말해, 2×2 및 6×6을 제외한 다른 모든 크기에서는 직교 라틴 방진 쌍이 존재한다. 보아 일반적으로, <math>nge2</math>일 때, 크기 <math>n imes n</math>의 상호 직교 라틴 방진 집합의 크기는 항상 <math>n-1</math> 이하이다. 또한, 만약 <math>n</math>이 소수의 거듭제곱일 때 (즉, 만약 크기 <math>n</math>의 유한체가 존재할 때) 이 상계는 포화된다. 구체적으로, 크기 <math>n-1</math>의 <math>n imes n</math> 상호 직교 라틴 방진 집합은 크기 <math>n</math>의 유한 사영 평면의 존재와 동치이다. <heading>예 </heading> 크기 3 이하의 (유일한) 표준형 라틴 방진들은 각각 다음과 같다. <heading>응용 </heading> 통계학에서, 라틴 방진은 실험 설계에 사용된다. <heading>역사 </heading> 최석정(1646~1715)은 1710년~1715년 경 출판된 것으로 여겨지는 수학서 구수략에서 서로 직교인 9×9 라틴 방진 쌍 및 (서로 직교가 아닌) 두 개의 10×10 라틴 방진을 수록하였다. 최석정은 두 10×10 라틴 방진을 각각 백자자수음양착종도(白子子數陰陽錯綜圖) · 백자모수음양착종도(白子母數陰陽錯綜圖)라고 명명하였으며, 9×9 직교 라틴 방진을 구구모수변궁양도(九九母數變宮陽圖)라고 명명하였다. 프랑스의 수학자 자크 오자낭(Jacques Ozanam, 1640~1718)은 1694년에 각종 수학 퍼즐이 수록된 책을 출판하였다. 이후 오자낭의 사후 1778년에 장에티엔 몽튀클라(Jean-Étienne Montucla, 1725~1799)가 이를 편집하고 새 퍼즐들을 추가하여 재출판하였으며, 이 개정판에는 (제1판에 수록되지 않았던) 4×4 직교 라틴 방진에 해당하는 퍼즐이 수록되어 있다. 개정판 4권에 수록된 산수 퍼즐 29번은 플레잉카드의 4개의 슈트(◆, ♥, ♠, ♣)에 속하는, 숫자 대신 라틴 문자가 달린 카드(킹 K, 퀸 Q, 잭 J, 에이스 A)를 사용하여 직교 라틴 방진을 구성하는 것이었으며, 책에 수록된 해는 다음과 같다. otequiv 2pmod4</math>일 경우 서로 직교하는 <math>n imes n</math> 라틴 방진의 쌍이 존재함을 증명하였으며, 또한 이것이 직교하는 라틴 방진의 쌍이 존재할 필요 충분 조건일 것이라고 추측하였다. 그러나 1959년에 라지 찬드라 보스와 샤라드찬드라 샨카르 슈리칸데(शरदचंद्र शंकर श्रीखंडे, Sharadchandra Shankar Shrikhande)는 서로 직교하는 22×22 라틴 방진의 존재를 증명하였다. 곧 보스와 슈리칸데와 어니스트 틸던 파커(Ernest Tilden Parker, 1926~1991)는 1960년에 10 이상의 모든 수에 대하여 오일러의 추측이 거짓임을 증명하였다.