기하학적 양자화 document_id A220623089750

수리 물리학에서 기하학적 양자화(幾何學的量子化, geometric quantization)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 계를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 양자화하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다. <heading>정의 </heading> 대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다. 고전적 관측가능량들은 <math>M</math> 위의 함수로 나타내어진다. 기하학적 양자화는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다. <heading>준양자화 </heading> 심플렉틱 형식 <math>omega</math>가 다음과 같은 준양자화 조건(準量子化條件, prequantization condition)을 만족시킨다고 하자. 매끄러운 다양체 <math>(M,omega)</math> 위의 준양자 구조(準量子構造, prequantum structure)는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 준양자화 조건을 만족시키는 심플렉틱 다양체 <math>(M,omega)</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 표준적인 준양자 구조가 존재한다. 으로 생각할 수 있다. 따라서, <math>n oinfty</math> 극한은 <math>hbar o0</math>, 즉 반고전적(semiclassical) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다. abla,P)</math>에 대하여, <math>mathcal H</math>는 <math>L</math>의 제곱 적분 가능 단면 가운데, <math>P</math>의 방향으로 일정한 단면들이다. 이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화(projectivization)가 양자역학의 상태 공간이다. abla_Ps=0</math>을 만족시키는 단면의 경우 <math>M/P</math> 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 <math>M/P</math> 위에 유도된 측도에 대한 것이다. <heading>메타플렉틱 보정 </heading> 양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 메타플렉틱 구조(metaplectic structure)를 정의해야 한다. 준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체 <math>Nsubset M</math>과 그 위에 정의된 <math>L</math>의 단면 <math>sinGamma(N,Lotimessqrt{det T^*N})</math>이다. <math>s^2</math>는 <math>N</math> 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 <math>mathcal H</math>의 원소 <math> ilde sinoperatorname L^2(M,L)</math>로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 <math>fcolon M omathbb R</math> 또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다. 특히, 이 경우 자주 선다발 <math>L</math>을 <math>L otimes sqrt K</math>로 대체한다. 여기서 <math>K = extstyleigwedge^{dim M}(mathrm TM/P)^*</math>이다. 만약 <math>P</math>가 정칙 극성화라면 <math>K</math>는 복소다양체의 표준 인자에 대응되는 정칙 선다발이며, 만약 <Math>P</math>가 실수 극성화라면 <math>K</math>는 일반화 좌표의 매끄러운 다양체 위의 최고차 미분 형식의 선다발이다. 예를 들어, <math>mathrm T^*N</math>의 실수 극성화의 경우, 상태는 <math>N</math> 위의 함수 <math>f(x)</math> 대신 <math>f(x) sqrt{mathrm d^{dim N}x}</math>의 꼴이게 되며, 그 제곱 <math>|f(x)|^2,mathrm d^{dim N}x</math>은 자연스럽게 <math>N</math> 위에서 적분될 수 있다. 이러한 보정을 가하면, 조화 진동자의 에너지가 <math>nomegahbar</math> 대신 <math>(n+1/2)omegahbar</math>가 된다. <heading>극성화의 종류 </heading> 기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다. 은 자명하고, 그 위에 <math> heta</math>를 성분으로 가지는 코쥘 접속을 정의할 수 있다. 이므로, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다. 이는 파동 함수가 일반화 위치의 함수이며, 일반화 운동량에 의존하지 않는 것에 해당한다. 으로 대응된다. <heading>켈러 다양체 </heading> 그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 <math>2pi</math>배)인 켈러 다양체 <math>M</math>을 생각하자. 이 경우, <math>omega/2pi</math>에 대응하는 정칙 선다발 <math>L woheadrightarrow M</math>이 존재하며, 그 위에 곡률이 <math>iomega</math>인 접속을 정의할 수 있다. 켈러 다양체의 복소구조를 사용하여, 복소화 접다발 <math>TM^{mathbb C}</math>를 다음과 같이 분해할 수 있다. 에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다. 에 대응하는 접속은 다음과 같다. 에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다. 의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다. 구체적으로, 위상 공간이 <math>2n</math>차원 유클리드 공간 <math>mathbb R^{2n}</math>인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다. 의 꼴이며, 여기서 <math>fcolonmathbb C omathbb C</math>는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다. 이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다. 이들은 <math>n</math>차원 조화 진동자의 <math>alpha</math>번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 시걸-바르그만-포크 공간(Segal–Bargmann–Fock space)이라고 한다. <heading>리만 구의 양자화 </heading> 리만 구 <math>hat{mathbb C}</math> 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻으며, 이는 비가환 기하학적으로 퍼지 구로 이해할 수 있다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 <math>k</math>의 인자 <math>D</math>에 대응하는 선다발 <math>mathcal O(D)</math>로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다. 을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 계산할 수 있다. 여기서 <math>operatorname{Td}M</math>은 토드 특성류이다. 이 되므로, 고전 극한 <math>k oinfty</math>에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간의 부피 <math>int_M(komega)^n/n!</math>에 수렴하는 것을 알 수 있다.