타이히뮐러 공간 document_id A220623089804

수학에서, 타이히뮐러 공간(Teichmüller space)은 주어진 (위상수학적) 곡면의 복소 구조들의 모듈라이 공간이다. 이는 자연스럽게 복소 구조 및 다양한 계량들을 가진다. <heading>역사 및 어원 </heading> 오스발트 타이히뮐러(Oswald Teichmüller)의 이름을 땄다. <heading>정의 </heading> 2차원 다양체 <math>Sigma</math> 위에 복소 구조들의 집합을 <math>mathcal J</math>라고 하자. 여기에, 다음과 같은 동치관계를 정의하자. 여기서 <math>operatorname{Homeo}(Sigma)</math>는 위상동형사상 <math>phicolonSigma oSigma</math>들의 군이며, <math>operatorname{Homeo}_0(Sigma)</math>는 그 가운데 단위원(항등함수)을 포함하는 연결 성분인 부분군이다. 이 동치관계에 대한 동치류 <math>mathcal J/{sim}=mathcal T_Sigma</math>는 자연스럽게 유한차원 다양체를 이루며, 또한 자연스러운 복소 구조가 존재한다. 이므로, 복소 구조의 모듈러스 공간은 타이히뮐러 공간에 <math>operatorname{MCG}(Sigma)</math>에 대한 몫공간을 취한 오비폴드다. 여기서 <math>operatorname{MCG}(Sigma)</math>는 <math>Sigma</math>의 사상류군(mapping class)이다. 타이히뮐러 공간과 모듈러스 공간의 차이에 대하여, 윌리엄 서스턴은 다음과 같이 적었다. 이다. <heading>성질 >> 차원 </heading> 타이히뮐러 공간 <math>mathcal T_{g,0}</math>의 접공간은 다음과 같다. 두 번째 등식은 세르 쌍대성에 의한 것이다. 즉, 그 공변접공간은 이차 미분(선다발 <math>2K</math>의 단면)으로 구성된다. 타이히뮐러 공간의 차원은 그 공변접공간의 차원과 같다. 이다. <heading>베유-페테르손 계량 </heading> 타이히뮐러 공간 위에는 베유-페테르손 계량(Weil–Petersson metric)이라는 켈러 구조가 존재한다. 이는 사상류군의 작용에 불변이며, 따라서 리만 곡면의 모듈러스 공간 (즉, 복소 구조 모듈러스 공간) 위에도 존재한다. 이 경우, 임의의 접벡터 <math>psi,chiin Tmathcal M_gcong H^0(Sigma;K)</math>에 대하여, 베유-페테르손 계량은 다음과 같다. 여기서 우변은 코호몰로지류를 미분 형식으로 나타낸 것이며, 동치류의 원소의 선택에 의존하지 않는다. <heading>콤팩트화 </heading> 타이히뮐러 공간에는 자연스러운 콤팩트화가 존재한다. 이는 윌리엄 서스턴이 도입하였고, 서스턴 콤팩트화(Thurston compactification)라고 한다. 이 밖에도 다른 여러 콤팩트화를 정의할 수 있지만, 서스턴 콤팩트화에서는 모듈러 군의 작용이 콤팩트화 타이히뮐러 공간 전체에 연속적으로 작용하게 되므로 가장 많이 쓰인다. 모듈러스 공간 <math>mathcal M_{g,n}</math>의 경우, 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화(Deligne–Mumford compactification) 또는 크누드센-들리뉴-멈퍼드 콤팩트화(Knudsen–Deligne–Mumford compactification) 또는 안정 콤팩트화(stable compactification)가 존재한다. 들리뉴-멈퍼드 콤팩트화 모듈러스 공간 위에서, 베유-페테르손 계량은 완비 계량이다. <heading>예 >> 종수 0 </heading> 종수가 0인 리만 곡면은 리만 구면 <math>hat{mathbb C}=mathbb Ccap{hatinfty}</math>이 유일하다. 즉, 복소 모듈러스 공간 <math>mathcal M_0={ullet}</math>은 하나의 점만을 포함한다. 타이히뮐러 공간 <math>mathcal T_{0,0}</math>, <math>mathcal T_{0,1}</math>, <math>mathcal T_{0,2}</math>, <math>mathcal T_{0,3}</math>은 모두 하나의 점만을 포함한다. 이는 뫼비우스 변환을 사용하여, 임의의 3개의 점을 다른 임의의 점으로 보낼 수 있기 때문이다. 즉, 서로 다른 3개의 점 <math>z_1,z_2,z_3inhat{mathbb C}</math>이 주어진다면, 다음과 같은 뫼비우스 변환을 사용해 이들을 각각 <math>0,1,hatinftyinhat{mathbb C}</math>로 보낼 수 있다. 일반적으로, 모듈러스 공간 <math>mathcal M_{0,n}</math>은 다음과 같다. e jcolon z_i=z_j}</math>는 두 개 이상의 좌표가 겹치는 점들의 집합이다. <heading>종수 1 </heading> 종수 1의 리만 곡면은 (비특이 복소) 타원 곡선이다. 이는 복소 평면에 2차원 격자에 대한 몫공간을 취해 얻을 수 있다. 복소 구조는 두 주기의 비 <math> au=omega_2/omega_1</math>에만 의존하게 된다. 이 경우, 복소 구조 모듈러스 공간 <math>mathcal M_0</math>은 상반평면 <math>mathbb H</math>에 다음과 같은 몫공간을 취한 오비폴드이다. 은 모듈러 군이라고 한다. 이 경우 타이히뮐러 공간은 물론 <math>mathcal T_{1,0}=mathbb H</math>이다. 이 몫공간은 다음과 같은 기본 영역(基本領域, fundamental domain)으로 나타낼 수 있다. 타원 곡선 모듈라이 공간 <math>mathcal M_1congmathbb H/Gamma</math>는 위상수학적으로 <math>mathbb R^2</math>와 위상동형이다. 여기에 서스턴 콤팩트화(Thurston compactification)을 통해 <math>S^2</math>와 위상동형인 콤팩트화 모듈러스 공간 <math>hat{mathcal M}_1</math>을 정의할 수 있다. 이 경우, 추가된 점은 기본 영역에서 <math>z=+iinfty</math>에 해당한다. 이 경우, 위상동형사상은 j-불변량 <math>jcolonhat{mathcal M}_1 ohat{mathbb C}</math>으로 주어진다. <heading>종수 2 이상 </heading> 종수 2 이상의 경우, 차원 공식에 따라서 복소 모듈러스 공간 및 타이히뮐러 공간은 유한차원이다. 이 경우, 그 사상류군은 타이히뮐러 모듈러 군(Teichmüller modular group)이라고 한다.