예비 수학교사들이 이산수학 학습에서 겪는 어려움 분석 document_id A220623132198

본 연구는 예비 수학교사들이 이산수학 학습에서 겪는 어려움의 원인과 배경을 조사·분석하여 교사교육 개선에 도움을 주고자 함이다. 이를 위해 예비교사를 대상으로 이산수학 교과목에 대한 설문과 지필평가를 실시하고 여기서 얻은 자료를 분석하였다. 그 결과 첫째, 이산수학 교육의 필요성에 대한 예비교사들의 가치 인식 공유가 요구된다. 둘째, 이산수학 내용요소의 적정성 및 이수 시수의 검토가 필요하다. 셋째, 예비 수학교사들이 갖는 학습 곤란의 발생 원인을 학습요인 이외의 측면에서 살펴볼 필요가 있다. 그리고 중등 학교수학과 대학의 이산수학 교육과정 연속성 측면에서 내용요소의 체계성, 계열성 연구가 필요하다는 것과 중등임용에서의 이산수학 출제 비율 조정에 대한 신중한 고려가 요구된다는 시사점을 도출하였다. OECD에 따르면, 실세계에서의 수학의 역할을 확인하고 이해하는 능력, 현명한 판단을 내리는 능력, 그리고 개인이 삶의 요구에 맞도록 수학을 사용하는 능력을 수학적 소양이라고 정의하였다. 이러한 수학적 소양은 이산수학을 통해 자연스럽게 기를 수 있다. 왜냐하면 이산수학은 수학의 기본적인 개념과 원리, 법칙을 바탕으로 우리 주변에서 일어나는 이산 상황의 여러 문제를 수학적으로 분류하고 논리적 사고를 통한 합리적 문제해결의 능력과 태도를 기를 수 있는 교과이기 때문이다. 내용요소 또한 실생활 소재는 물론 4차 산업혁명 시대의 필수적인 코딩, 프로그래밍, 테크놀러지 등과 관련된 기초 학습을 다룬다. 이러한 점에서 본 연구는 일부지역, 소수를 대상으로 이루어진 연구라는 제한점은 있으나 예비 수학교사들이 이산수학 학습에서 겪는 어려움을 조사하고 분석하여 미래 학교수학을 가르칠 예비교사들에게 이산수학 학습 보정 기회를 제공하고, 더불어 사범대학 이산수학 강좌의 교수·학습 개선을 위한 시사점을 얻고자 진행되었다. 이를 통해 본 연구에서 얻은 결론과 제언은 다음과 같다. 첫째, 이산수학 교육의 필요성에 대한 예비교사들의 가치 인식 공유이다. 이산수학 학습에 대한 예비교사들의 인식조사에서 전체 31명 중 30명이 필요하다고 응답하였다. 그러나 왜 필요한가의 질문 답변에는 ‘유용성’, ‘실생활’의 키워드가 비록 포함되어 있으나 구체적이고 명확함은 부족하였다. 이는 장차 교단에서 이산수학을 가르칠 예비교사들이 이 교과목을 왜 가르쳐야 하는지 그 목적과 목표를 정확하게 알지 못한 채 학생들을 만나게 된다는 의미이기도 하다. 예비교사들이 언급하였듯이 이산수학은 그 응용성과 유용성이 담보되어 있음에도 학교 수학의 주변으로 밀려나 있다. 그래서 더욱 이산수학 교육의 필요성에 대한 예비교사의 올바른 인식이 요구된다. 이부분에 있어 NCTM이 ‘왜 이산수학이 중요한가’ 의 근거로 다섯 가지로 나누어 강조하였는지를 참고할 만하다. 하나는 이산수학이 보안과 관련된 암호학, 자동화 장치, 프로그램 언어 작성 등 현대사회에서 사용 분야가 계속해서 증가하기 때문이라는 것이다. 둘째는 수학의 다른 교과목에 비해 선수학습 지식이 크게 요구되지 않아 모든 학년에서 다양한 방식으로 문제해결의 소재를 풍부하게 제공할 수 있다는 측면이다. 셋째는 이산수학의 주제들이 일상적이며, 우리 주변에서 쉽게 만나는 실생활맥락에서 정보를 찾아 이를 단순화하고 개연화하여 문제해결의 아이디어를 얻는 수학적 경험 즉, 수학화 활동을 경험할 수 있다는 것이다. 넷째는 수학을 싫어하고 실패한 학생들에게 수학의 흥미를 불러일으킬 주제가 포함되어 있으며, 사고과정의 위계성이 강하여 쉽고 간단한 문제부터 복잡하고 추상적인 문제 상황까지 변화시킬 수 있어 풍부한 이산수학적 상황을 제시할 수 있다는 것이다. 그리고 마지막으로 이산수학은 연역적으로 전개되었던 전통적인 대수, 해석, 기하의 교육과정을 보완하는 새로운 가능성을 제공하기 때문이라는 것이다. 이처럼 이산수학은 시대적인 변화 추세를 반영하며, 미래사회에서 요구되는 수학적 지식과 소양을 갖추도록 하는데 부합하는 교과목이라 하지 않을 수 없다. 예비교사들이 이러한 이산수학의 가치에 대한 재인식이 필요하다. 둘째, 이산수학 내용요소의 적정성 및 이수 시수의 검토이다. 사범대학에서의 이산수학은 세기, 점화관계와 알고리즘, 그래프 등 크게 세 개의 주제를 주로 다룬다. 구체적인 내용요소는 , , 에서와 같이 순열과 조합, 이항계수, 수의 분할, 집합의 분할, 포함배제의 원리, 비둘기집의 원리, 점화관계, 생성함수, 그래프,그래프의 동형, 오일러회로, 해밀턴회로, 평면그래프, 수형도, 색칠문제, 행렬과 그래프이다. 이러한 내용요소들을 2 ∼3학점으로 모두 이수하기에는 시수가 부족한 편이다. 물론 예비교사들이 학습곤란을 적게 느끼는 내용요소보다는 점화관계, 생성함수, 색칠문제와 같이 학습 도움이필요한 부분에 강의를 집중하더라도 정확한 개념형성, 수학적 구조, 수학적 사고 등을 강조하며 교수·학습이 이루어지기 위해서는 절대적 시간 확보가 요구된다. 뿐만 아니라 예비교사는 학문의 학습자이면서 동시에 미래 학교수학의 교수자이기에 기본적으로 학습하는 이산수학의 내용요소들에 대한 교육목표와 Freudenthal이 고등수학의 일부를 학교에서 교과로 반영하기위해 낮은 수준으로 각색하는 것을 나타내기 위해 사용한 내용요소의 초등화 과정을 경험하도록 학부에서의 안내가 이루어져야하기에 더욱 그렇다. 만일 이수 시수 확보가 전제된다면 점화관계에서의 여러 가지 점화관계식, 동차선형점화관계식, 특성다항식과 생성함수에서의 일반생성함수, 지수생성함수, 그리고 색칠문제에 대한 수준과 내용을 강화하고, 중등의 학교수학과의 연계성도 고려한 교육과정 조직으로 현재 발생한 여러 결점을 보완할 수 있을 것이라 생각된다. 여기에 한국교육과정이 제시한 이산수학 내용요소에서 알고리즘, 게임이론, 공편한 분배 등 누락된 내용을 새롭게 추가 확대하여 예비교사들에게 이산수학을 통한 다양한 수학적 지식으로의 추상화 경험을 제공할 수 있을 것이다. 그렇지 못하고 현재조건하에서라면 예비교사들의 학습 곤란 정도를 배려하여 세기, 점화관계와 알고리즘, 그래프 대신 세기, 그래프, 점화관계와 알고리즘 순으로 다루는 주제 내용의 순서 이동 고려가 필요하다. 셋째, 예비교사의 학습 곤란 발생 원인을 내용 요소의 어려움으로 한정하는 국소적 시각 탈피이다. 예비교사들의 학습 곤란 내용요소는 , , 의 응답률과 의 정답률을 보면 알 수 있다. 예비교사들은 생성함수, 점화관계, 색칠문제, 그리고 이항계수의 순으로 어려움을 토로했다. 실제 평가를 통한 정답률 결과로는 오일러·해밀턴회로, 수의 분할, 생성함수 순으로 성취도가 낮게 나타났다. 응답율과 실제 정답률을 한발 더 들여다보면, 예비교사들이 어렵다고 응답한 점화관계, 색칠문제 경우 실제정답률은 각각 62.58%, 46.78%로 나타나 이 자료만 비교해서는 문제해결에 큰 어려움을 겪었다고 볼 수 없는 결과이다. 또한 오일러·해밀턴회로는 어려움을 느낀다는 응답률이 16.1%로 체감으로는 매우 쉬운 내용요소였으나 정답률에서는 반대로 12.9%로 가장 낮게 나타나 실제로는 문제해결과정에서 가장 어려움을 느낀 문항으로 분석되었다. 다만, 학습에 어려움을 느낀다는 응답률이 높았던 생성함수는 실제 정답률에서도 24.52%로 나타나 예비교사의 응답과 어느 정도 일치하는 것으로 나타났다. 그림 Ⅴ-1은 예비교사의 학습 곤란 내용요소 응답률을 비교 도식화한 것이다. 단, 효율적인 도식 이해를 위해 생성함수*의 정답률은 수열 의 생성함수 구하기 ‘M_6’, 실생활 상황의 지수생성함수로의 모델링 ‘M_7’의 각각의 정답률 35.48%, 13.5%의 평균인 24.52%로, 그래프·그래프의 동형**은 그래프의 꼭짓점과 변의 수를 알아보기 위한 ‘F_1’과 동형사상의 정의와 동형 판별에 대한 ‘F_2’ 문항의 정답률 86.02%, 56.45%의 평균 71.24%, 그리고 색칠문제***의 정답률 46.78%는 조건을 만족시키는 그래프 G가 평면그래프인가의 판별과 채색수 를 구하는 ‘F_5’, 수형도로 이루어진 그래프 G의 변의 수를 구하는 ‘F_6’의 각각의 정답률 52.56%, 45.16%의 평균이다. 각각의 학습 곤란 내용요소와 평가 문항에 대한 분석은 Ⅳ장에서 구체적으로 언급하였으므로 여기서는 다른 두 가지 시각에서 재조망해 보고자 한다. 하나는 이산수학이라는 교과의 영역 특성이다. 이산수학은 유한집합이나 셀 수 있는 집합에서의 문제해결방법을 동원하게 된다. 이러한 이산적인 방법 외에 실생활을 관찰, 조사하며 귀납적인 사고 방법을 훈련하게 된다. 그러나 이산적·귀납적인 방법으로 이산수학의 주제들을 모두 다루기에는 선천적 한계가 있다. 예를 들면, 이항정리 에서 a는 임의의 실수이다. 또 생성함수에서는 형식적 무한급수를 취급하기는 하나 Taylor 급수와 Maclaurin 급수의 연속 개념을 받아들여야 한다. 그리고 가장 벗어나기 어려운 것은 이산수학 소재들을 정리한 명제의 연역적 증명 절차이다. 이처럼 이산수학은 비물질 세계를 다루면서 물질적인 현상을 분석하고 이해하도록 하는 연속수학의 실수, 연속, 증명이라는 개념과 절차가 동시에 요구된다. 즉, 이산수학 학습에 다른 장애요소가 상존하고 있다. 이에, 오일러·해밀턴회로의 학습 곤란 응답률 16.1%와 해밀턴회로의 존재 증명문항 ‘F_3’의 정답률 12.9%의 괴리는 이로 설명이 가능하다. 물론 새롭게 접하는 생성함수의 내용요소는 다른 내용요소들에 비해 학습에 있어 어려운 물리적 제약이 정답률로 이어져 나타난 것으로 해석된다. 다른 하나는 사범대학이라는 특수성이다. 사범대학은 타 대학과 달리 교직이라는 진로를 정해놓고 학습의 출발선상에 서게 된다. 따라서 교과목 학습량이 전통적 수학인 대수와 해석이 많을 수밖에 없어 이산수학은 학문적 위치뿐만 아니라 학습량에서도 우선순위에서 밀려나 있다. 단적으로 중등임용에서 이산수학에서 출제되는 문항의 수는 2014학년도 이후 단 1개의 문항만이 출제되고 있어 이산수학 교과목은 예비교사의 관심 밖에 놓여 있다. 이는 학습해야 하는 양에 비해 출제 비중이 매우 낮아 교과목 학습 태도에 온전히 영향을 끼치게 된다. 기본적 이해 수준에서 해결할 수 있는 패러다이어그램이 주대각선에 대칭인 21의 분할의 수를 찾는 문항 ‘M_3’의 정답률이 20.65%가 이를 잘 대변한다고 할 수 있다. 이렇듯 예비교사의 이산수학에 대한 어려움 호소에는 학습요인 이외 외적 환경 요소도 내포되어 있음이다. 다음은 결론에 따른 두 가지 제언을 하고자 한다. 첫째, 중등 학교수학과 대학의 교육과정 연속성 측면에서 이산수학 내용요소의 체계성, 계열성에 대한 연구이다. 김창일 등의 연구에서 사범대학에서의 이산수학은 세기, 점화관계와 알고리즘, 그래프 등 크게 세 개의 주제를 주로 다루는 것으로 조사되었다. 1997년 고시된 제 7차 교육과정에서의 이산수학 교과의 학습내용은 에서 보듯이 선택과 배열, 그래프, 알고리즘, 의사결정의 최적화과 비교해 보면 이것은 학교수학에서 다루던 의사결정의 최적화도 접하지 못하는 비정상적인 교육과정 설계가 된다. 더욱이 학습량 경감과 학습 수준을 낮추는 방향으로 개정된 2015 개정 수학과 교육과정의「고급수학」교과목의 수학적 모델링도 누락된 상황이다. 이는 대학에서도 배우지 않은 내용을 학교 현장에서 가르쳐야 하는 이율배반적인 문제가 발생된다. 이를 개선함은 물론 학생에게 중요한 것, 수학적으로 중요한 것, 그리고 미래사회에서 중요하게 요구되는 이산수학의 내용과 주제들을 중심으로 중등과 대학에서의 이산수학을 체계적으로 새롭게 정비할 필요가 있다. 둘째, 중등임용에서의 이산수학 교과목에 대한 출제 비중 확대 고려이다. 교육과정과 평가는 연계되어야 한다. 이런 점에서 현재 이산수학의 중요성과 교육과정 내용 요소를 고려하면 이산수학이 중등임용에서 다소 소홀히 취급되고 있음을 부인하기 어렵다. 이산수학이 수학과 현실을 가깝게 만드는 교과목이라는 하나의 축과 AI로 대변되는 제 4차 산업혁명 시대의 수학적 소양을 담기 위한 교과목이라는 또 다른 한축으로서 이산수학을 이해하고 바라본다면, 중등임용에서 이산수학의 출제 비중을 높이는 문제에 대해 관련 전문가들의 심도 있는 논의가 이루어질 요청해 본다.