카츠-무디 대수 document_id A220623143538

리 이론에서, 카츠-무디 대수(Кац-Moody代數, Kač–Moody algebra)는 복소수 리 대수의 일종이다. 단순 리 대수와 아핀 리 대수의 공통적인 일반화이다. 정의 카츠-무디 대수 (A,mathfrak h,{(alpha_i,alpha^vee_i)}_{iin{1,2,dots,n}})는 다음과 같은 데이터로 구성된다. 이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이 경우, 카츠-무디 대수 mathfrak g는 mathfrak h 및 생성원 e_1,dots,e_n, f_1,dots,f_n으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다. 여기서 (e_i,f_i)를 슈발레 생성원(Chevalley generator)라고 한다. 만약 카츠-무디 대수 mathfrak g의 카르탕 행렬 A에 대하여, A=DS인 대각 행렬 Dinoperatorname{Mat}(n;mathbb Z)와 대칭 행렬 Sinoperatorname{Mat}(n;mathbb R)가 존재한다면, mathfrak g를 대칭화 가능 카츠-무디 대수(symmetrizable Kač–Moody algebra)라고 한다. 카츠-무디 대수 mathfrak g의 계수(rank) operatorname{rank}mathfrak g는 그 카르탕 행렬의 계수 r=operatorname{rank}A와 같다. 라면, lambda를 mathfrak g의 근(根, root)이라고 하고, x를 lambda의 근 벡터(根vector, root vector)라고 한다. mathfrak g의 모든 근들의 집합을 Deltasubsetmathfrak h^*라고 하자. 이는 복소수 벡터 공간을 이룬다. 모든 카츠-무디 대수 mathfrak g는 복소수 벡터 공간으로서 다음과 같은 직합으로 나타내어진다. 또한, 모든 근 lambda는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 이 경우 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 아니면 모두 음의 정수이다. 이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 양근(陽根, positive root), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 음근(陰根, negative root)이라고 한다. 모든 단순근 alpha_i는 양근이며, -alpha_i는 음근이다. 또한, e_i 및 f_i는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다. 딘킨 도표 카츠-무디 대수는 딘킨 도표(Дынкин圖表, Dynkin diagram)로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬 Ainoperatorname{Mat}(n;mathbb Z)에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다. e j일 때, 두 꼭짓점 i,j 사이의 변의 수는 A_{ij}A_{ji}이다. 실근과 허근 카츠-무디 대수 mathfrak g의 근 alphainDelta(mathfrak g)는 다음과 같이 두 종류로 분류된다. 분류 대칭화 가능 카츠-무디 대수 mathfrak g의 카르탕 행렬 A는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱 A=DS로 나타낼 수 있다. 카츠-무디 대수는 S의 부호수에 따라서 다음과 같이 분류된다. 이들 가운데, 단순 리 대수 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 또한, 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 쌍곡선형 카츠-무디 대수(hyperbolic Kač–Moody algebra)라는 것은 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다. 그러나 단순 리 대수 · 아핀 리 대수 · 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다. 역사 캐나다의 로버트 본 무디(Robert Vaughan Moody) 가 토론토 대학교 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이와 독자적으로 소비에트 연방의 빅토르 카츠가 거의 동시에 이들을 발견하였다.