무한곱 document_id A220623149884

수학에서, 무한곱(無限-, infinite product)은 무한 수열의 모든 항의 곱이다. 이는 앞의 몇 항의 유한곱에 대한 극한으로 정의되며, 이 극한값이 0이 아닐 경우에만 무한곱이 수렴하는 것으로 정의한다. 무한곱이 수렴하려면 그 수열 항의 극한이 1이어야 하므로, 편의상 수열의 모든 항이 양의 실수라고 가정하여도 무방하다. 으로 정의된다. 만약 위와 같은 극한이 존재하고 0이 아니라면, 무한곱 prod_{n=1}^infty a_n이 수렴(收斂, convergent)한다고 한다. 만약 반대로 위와 같은 극한이 0이거나 존재하지 않는다면, 무한곱 prod_{n=1}^infty a_n이 발산(發散, divergent)한다고 한다. 성질 만약 무한곱 prod_{n=1}^infty a_n이 (0이 아닌 값으로) 수렴한다면, lim_{n oinfty}a_n=1이다. 실수 수열 (a_n)_{n=1}^inftysubseteqmathbb R이 |a_n|<1 (nin{1,2,dots})를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이다. 실수 수열 (a_n)_{n=1}^inftysubseteqmathbb R이 a_n>0 (nin{1,2,dots})를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이다. 예 >> 월리스 곱 다음과 같은 무한곱을 월리스 곱(Wallis product)이라고 한다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 다음과 같은 적분 공식을 사용하자. 임의의 xin(0,pi/2) 및 nin{1,2,dots}에 대하여 sin^{2n+1}x<sin^{2n}x<sin^{2n-1}x이므로, 다음이 성립한다. 여기에 위와 같은 공식을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다. 다음과 같은 부등식에 따라 양 끝의 식은 pi/2로 수렴하므로, 월리스 공식이 증명된다. 리만 제타 함수 리만 제타 함수의 s>1에서의 값은 다음과 같은 수렴하는 급수와 같다. 여기에 (1-1/2^s)를 곱하면 홀수에 대한 합이 남는다. 다시 (1-1/3^s)를 곱하면 2나 3의 배수가 아닌 정수에 대한 합만 남는다. 이를 모든 소수 p_1=2,p_2=3,dots에 대하여 반복하면 우변은 결국 1이 된다. 즉, s>1에서의 리만 제타 함수 값은 무한곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.