장소 (수학) document_id A220623176891

일반위상수학에서, 장소(場所, 로케일)는 위상 공간의 열린집합의 부분 순서 집합을 추상화한 구조이다. 장소의 범주의 대상은 완비 헤이팅 대수와 같지만, 장소의 사상은 헤이팅 대수의 사상과 다르다. <heading>정의 </heading> 완비 헤이팅 대수는 완비 격자인 헤이팅 대수이다. 두 완비 헤이팅 대수 사이의 완비 헤이팅 대수 준동형(complete Heyting algebra homomorphism)은 모든 만남과 이음을 보존하는 함수이다. 완비 헤이팅 대수와 완비 헤이팅 대수 준동형은 범주 operatorname{CHey}를 이룬다. 두 완비 헤이팅 대수 X, Y 사이의 틀 사상(frame morphism) fcolon X o Y은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다. ight)이다. ight)이다. 틀(frame)은 완비 헤이팅 대수와 같다. 틀과 틀 사상은 범주 operatorname{Frm}을 이룬다. 장소의 범주는 틀의 범주의 반대 범주이다. 즉, 장소는 틀 또는 완비 헤이팅 대수와 같으며, 두 장소 X, Y 사이의 장소 사상(locale morphism) fcolon X o Y은 반대 방향의 틀 사상 f^{operatorname{op}}colon Y o X과 같다. operatorname{Open}({ullet}) o L 및 열린집합 Uin L에 대하여, p가 L에 속한다(belongs to)는 것은 틀 사상 p^{operatorname{op}}colon L ooperatorname{Open}({ullet}) 아래 p^{operatorname{op}}colon Umapsto {ullet}in operatorname{Open}({ullet}인 것이다. ucolon L o L와 일대일 대응한다. 이는 L 위의 만남을 보존하는 모나드와 같다. 이러한 함수를 부분 장소의 핵(核, nucleus)이라고 한다. 부분 장소는 점들로 결정되지 않는다. 즉, 같은 점 집합을 갖는 부분 장소가 서로 다를 수 있다. 장소의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 장소 L에 대하여, 지수 대상 (-)^L이 항상 존재할 필요충분조건은 L이 국소 콤팩트 장소인 것이다. 점을 충분히 가지는 장소들의 쌍대곱은 operatorname{Top}의 쌍대곱과 일치한다. 점을 충분히 가지는 장소들의 (무한할 수 있는) 곱의 점 집합은 각 장소의 점 집합들의 곱집합과 같다. 그러나 그 위의 위상은 일반적으로 곱위상과 다르다. 를 갖는다. 이 함자 아래, 장소 L에 대응하는 위상 공간 operatorname{Point}(L)은 집합으로서 L의 점들의 집합 hom_{operatorname{Loc}}(operatorname{Open}({ullet}),L)이며, 그 위의 열린집합은 L의 열린집합에 속하는 점들의 집합이다. 장소 L에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다. 이러한 장소를 점을 충분히 가지는 장소(locale with enough points)라고 한다. 점을 충분히 가지는 장소들의 충만한 부분 범주를 operatorname{ptLoc}로 쓰자. 사실, 위상 공간과 장소 사이의 수반 함자 operatorname{Open}dashvoperatorname{Point}는 다음과 같이 분해할 수 있다. <heading>층론적 성질 </heading> 장소 L이 주어졌다고 하자. 부분 순서 집합으로서, 이는 작은 범주로 여길 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 표준적인 그로텐디크 준위상이 존재한다. 이에 따라, 모든 장소 L은 위치를 이루며, 장소 L위의 (집합 값의) 층들의 범주 operatorname{Sh}(L)는 그로텐디크 토포스를 이룬다. 위상 공간 X에 대하여, X 위의 층의 개념은 장소 operatorname{Open}(X) 위의 층의 개념과 일치한다. 가 존재하며, 이는 충실충만한 함자이다. <heading>종류 </heading> 일반위상수학에서 위상 공간에 대하여 정의되는 대부분의 성질들은 열린집합을 통해 나타낼 수 있으며, 따라서 장소에 대하여 쉽게 일반화될 수 있다. 예를 들어, 장소 L의 열린 덮개는 그 만남이 최대 원소를 이루는 만족시키는 부분 집합 {U_i}_{iin I}subseteq L이다. 콤팩트 장소는 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는 장소이다. <heading>역사 </heading> 1928년에 카를 멩거(Karl Menger, 1902~1985)는 공간의 개념을 점을 사용하지 않고 정의할 수 있다는 아이디어를 제시하였다. 1930년대에 마셜 하비 스톤은 격자 이론을 연구하였으며, 위상 공간의 성질이 그 열린집합들의 완비 헤이팅 대수와 관련된다는 사실을 발견하였다.