뫼비우스 함수 document_id A220623191196

수론과 조합론에서, 뫼비우스 함수(Möbius函數, Möbius function)는 정수가 제곱 인수가 없는 정수인지 여부에 따라 분류하는 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 사용되며, 리만 가설과도 깊은 관계를 가진다. 기호는 <math>mu(n)</math>. 는 양의 정수 <math>ninmathbb Z^+</math>을 다음과 같이 <math>{-1,0,1}</math> 가운데 하나에 대응시킨다. 라면, 뫼비우스 함수는 다음과 같다. 여기서 <math>[cdots]</math>는 아이버슨 괄호(조건이 참이면 1, 아니면 0)이다. 뫼비우스 함수 <math>mu(n)</math>은 또한 1의 원시적 <math>n</math>제곱근의 합이다. 그렇기 때문에, 1보다 큰 임의의 자연수 n의 모든 약수에 대해서 <math>mu</math> 함숫값을 계산해서 더하면 언제나 0이 된다는 사실도 알 수 있다. 이 사실은 오일러 <math>phi</math> 함수에 대해, 임의의 자연수 n의 모든 약수의 <math>phi</math> 함숫값의 합은 언제나 n이 된다는 정리와 유사하다. 메르텐스 함수(Mertens函數, Mertens function)는 뫼비우스 함수의 부분합이다. 즉, 다음과 같은 함수이다. 뫼비우스 함수는 1의 원시적 <math>n</math>제곱근의 합이므로, 메르텐스 함수를 다음과 같이 정의할 수도 있다. 여기서 <math>mathcal F_n</math>은 <math>n</math>차 페리 수열이다. <heading>성질 </heading> 뫼비우스 함수는 곱셈적 함수이다. 즉, 서로소 정수에 대하여 다음과 같다. 뫼비우스 함수는 디리클레 합성곱 아래 상수 함수 1의 역원이다. 이 성질 때문에 뫼비우스 함수는 뫼비우스 반전 공식에 등장한다. <heading>생성 함수 </heading> 뫼비우스 함수의 생성 함수는 다음과 같다. 뫼비우스 함수의 람베르트 급수는 다음과 같다. 이는 <math>|q|<1</math>에 대하여 수렴한다. 뫼비우스 함수의 디리클레 급수는 리만 제타 함수의 역수이다. 이다. 소수 정리에 따라 다음이 성립한다. 또한, 다음이 성립한다. 즉, 점근적으로 <math>3/pi^2approx30.4\%</math>의 수에 대하여 뫼비우스 함수가 +1이며, <math>3/pi^2approx30.4\%</math>의 수에 대하여 뫼비우스 함수가 −1이며, <math>1-6/pi^2approx39.2\%</math>의 수에 대하여 뫼비우스 함수가 0이다. 리만 가설은 메르텐스 함수에 대한 다음 조건과 동치이다. 역시 아직 반증되지 않았으나, 이는 아마 거짓일 것이라고 추측된다.에 뫼비우스 함수를 정의하고 암묵적으로 사용하였지만, 자세하게 다루지 않았다.99, Notes to §3.1 1798년에 카를 프리드리히 가우스는 산술 연구(Disquisitiones Arithmeticae)에서 1의 원시 <math>n</math>거듭제곱근의 합이 <math>mu(n)</math>이라는 것을 보였으나, 역시 이 함수를 특별히 연구하지 않았다. 1831년에 아우구스트 페르디난트 뫼비우스는 뫼비우스 함수를 최초로 명시적으로 도입하였다.53) 스틸티어스는 <math>M(n)=O(sqrt n)</math>임을 증명하였다고 주장하였고, 또 메르텐스 추측 (<math>|M(n)|lesqrt n</math>)을 추측하였다. 스틸티어스는 뫼비우스 함수를 <math>f(n)</math>으로, 메르텐스 함수를 <math>g(n)</math>으로 표기하였다. 이 편지에서 스틸티어스는 다음과 같이 적었다. les termes <math>pm1</math> se compensent assez bien pour que <math> frac{g(n)}{sqrt n}</math> reste toujours comprise entre deux limites fixes, quelque grand que soit <math>n</math> (probablement on peut prendre pour ces limites +1 et −1).