제곱근 2 document_id A220623191738

제곱근 2 또는 루트 2 또는 2의 양의 제곱근은 자기 자신과 곱하여 2가 되는 양의 실수이다. sqrt{2}로 표기한다. 2의 제곱근은 자기 자신과 곱하여 2가 되는 실수이다. 2의 양의 제곱근과 2의 음의 제곱근이 있으며, pmsqrt{2}로 표기한다. 2의 제곱근은 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수이다. 기하학에서는 피타고라스 정리에 따라 한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이로 나타낼 수 있다. 2의 제곱근에 대한 근삿값으로는 70이 쓰인다. 이 값은 2의 제곱근 참값과 사이에 오차가 0.00001 로 매우 정확한 편이다. 실제 2의 제곱근의 값은 순환되지 않는 무한 소수로 소수점이하 65자리까지의 근삿값A002193은 다음과 같다. 2의 제곱근이 무리수라는 사실은 고대 시기부터 잘 알려져 있었다. 에우클레이데스는 원론에서 2의 제곱근이 무리수라는 사실을 귀류법을 통하여 증명하였다. 역사 예일대학교 소장 목록번호 7289인 바빌로니아 점토판에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다. 또한 고대 인도의 수학책인 술바수트라에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다. 가 된다. 이제 왼쪽의 그림과 같이 빗변이 아닌 두 변의 길이가 1인 직각삼각형의 빗변의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다. 고대 그리스의 피타고라스 학파인 히파소스는 이 계산에서 나타나는 2의 제곱근을 기약분수로 나타낼 수 없다는 사실을 발견하였다. 그런데 피타고라스 학파에서는 자연수와 이의 비로 나타낼 수 있는 기약분수, 즉 유리수 만을 진정한 수로 취급하였기 때문에 무리수의 존재를 인정하는 것은 금기였다. 히파소스는 무리수의 존재를 세상에 알렸다는 이유로 이단으로 취급받았으며, 일설에 의하면 피타고라스 학파에 의해 죽임을 당하였다고 한다. 무리수라는 이름은 피타고라스 학파의 수에 대한 이러한 가치관이 반영된 것이다. 헬레니즘 시기 알렉산드리아의 수학자 에우클레이데스는 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였다. 계산 다음의 알고리즘을 이용하여 2의 제곱근을 계산할 수 있다. 위의 식에 a0 = 1 을 대입하고 알고리즘을 실행하면 다음과 같은 결과가 나온다. 순환의 횟수가 많아 질수록 보다 정확한 근삿값을 계산할 수 있다. 연분수 다음과 같은 연분수를 사용하여도 2의 제곱근을 계산할 수 있다. 위 연분수는 아래와 같은 방식으로 전개된 것이다. 일반적으로 무리수는 순환되는 연분수로 표현될 수 있다. 다음은 에우클레이데스의 증명 과정이다. ight)^2 = 2가 성립한다. 기하학적 증명 오른쪽의 도형을 이용하여 2의 제곱근이 무리수임을 증명할 수 있다. 이 증명은 작도의 원칙에 따라 눈금 없는 곧은 자와 컴퍼스만을 이용한다. m{ABC}와 두 변의 길이가 같고 끼인 각이 같으므로 합동임을 알 수 있다. m{ABC}와 닮은 직각삼각형이 된다. m{FDC}에서 빗변과 다른 변의 비율 역시 sqrt{2} 가 되므로 다음과 같이 표현할 수 있다.