그로텐디크 위상 document_id A220623203335

대수기하학과 범주론에서, 그로텐디크 위상(Grothendieck位相, Grothendieck topology)은 열린 덮개의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 위상 공간의 개념을 위치(位置, site)로 일반화할 수 있다. 그로텐디크 위상의 개념은 대수기하학에서 사용되는, 에탈 코호몰로지 · fppf 코호몰로지 · 결정 코호몰로지(crystalline cohomology)와 같은 각종 코호몰로지 이론을 정의하는 데 필요하다. 정의 그로텐디크 위상은 주어진 대상 위의 "덮개"가 무엇인지의 데이터를 담고 있다. 그로텐디크 위상은 두 가지로 정의할 수 있다. 두 정의 모두, 그로텐디크 위상은 세 개의 공리들로 정의된다. 이들은 대략 다음과 같다. 그러나 이 세 공리는 덮개의 개념을 어떻게 형식화하느냐에 따라 달리 표현된다. 그로텐디크 위상을 갖춘 범주를 위치라고 한다. 작은 위치 위의 층의 범주와 동치인 범주를 그로텐디크 토포스라고 한다. 체를 통한 정의 국소적으로 작은 범주 mathcal C 위의 그로텐디크 위상(Grothendieck topology)은 다음과 같은 데이터로 정의된다. 국소적으로 작은 범주 mathcal C 위의 그로텐디크 준위상(Grothendieck準位相, Grothendieck pretopology)은 다음과 같은 데이터로 정의된다. 이 데이터 또한 일련의 공리들을 만족시켜야 한다. 국소적으로 작은 범주 mathcal C 위의 그로텐디크 준위상 mathfrak D가 주어졌다면, 이에 대응하는 그로텐디크 위상 mathfrak J_{mathfrak D}를 정의할 수 있다. mathfrak J_{mathfrak D}에서, Uinmathcal C의 덮개체들은 적어도 하나의 덮개를 포함하는 체들이다. 로비어-티어니 위상 로비어-티어니 위상(Lawvere–Tierney topology)의 개념은 그로텐디크 위상의 개념의 일반화이다. 로비어-티어니 위상은 임의의 토포스 위에 정의된다. 작은 범주 mathcal C 위의 준층의 범주 operatorname{PSh}(mathcal C)는 토포스를 이루며, 그 위의 로비어-티어니 위상은 mathcal C 위의 그로텐디크 위상과 동치이다. 토포스 mathcal T 위의 부분 대상 분류자 (Omega, op)inmathcal T가 주어졌다고 하자. mathcal T 위의 로비어-티어니 위상 jcolonOmega oOmega은 다음 조건들을 만족시키는 사상이다. 부분 대상 분류자의 정의에 의하여, 로비어-티어니 위상 jcolonOmega oOmega을 고르는 것은 Omega의 부분 대상 JhookrightarrowOmega을 고르는 것과 같다. 작은 범주 mathcal C 위의 준층 범주 operatorname{PSh}(mathcal C)에서, 부분 대상 분류자 operatorname{Sieve}는 대상 Uinmathcal C에 대하여 그 위의 모든 체들의 집합 operatorname{Sieve}(U)를 대응시킨다. 따라서 부분 대상 분류자 operatorname{Sieve}의 부분 대상 J는 각 대상 Uinmathcal C에 대하여, 그 위의 체들의 집합 J(U)subseteqoperatorname{Sieve}(U)을 대응시키는 준층이다. 이것이 준층을 이룬다는 것은 덮개체의 집합이 당김에 대하여 닫혀 있다는 조건이며, 이는 그로텐디크 위상의 세 공리 가운데 하나이다. 그로텐디크 위상의 나머지 두 공리는 로비어-티어니 위상의 공리들과 동치이다. 예 >> 이산 위상과 비이산 위상 범주 mathcal C 위의 이산 위상(discrete topology)은 모든 체가 덮개체를 이루는 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 (같은 공역을 갖는) 임의의 사상들의 모임이 덮개를 이루는 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 섬세한 위상이다. 범주 mathcal C 위의 비이산 위상(indiscrete topology)은 덮개체가 mathfrak J(U)={hom(-,U)}인 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 덮개가 mathfrak D(U)={operatorname{id}_U}인 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 엉성한 위상이다. 비이산 위상을 부여한 위치 위에서, 모든 준층은 층을 이룬다. 표현 가능 준층은 임의의 대상 Uinmathcal C에 대하여 hom(-,U)의 꼴의 준층이다. 모든 표현 가능 준층이 층을 이루는 가장 섬세한 그로텐디크 위상을 표준 위상(canonical topology)이라고 한다. 표준 위상보다 더 엉성한 위상을 준표준 위상(subcanonical topology)이라고 한다. 즉, 준표준 위상은 모든 요네다 준층이 층을 이루는 위상이다. 그로텐디크 토포스 mathcal T 위에 표준 위상을 부여한다면, mathcal T 위의 모든 층은 표현 가능하다. 즉, 이 경우 mathcal T와 operatorname{Sh}(mathcal T)는 서로 동치이다. 조각 범주 국소적으로 작은 범주 mathcal C 및 대상 Binmathcal C가 주어졌다고 하자. 로 정의하면, mathfrak J/B는 mathcal C/B 위의 그로텐디크 위상을 이룬다. 이를 조각 범주 mathcal C/B 위의 유도 위상(induced topology)이라고 한다. 위상 공간의 작은 위치 위상 공간 X의 열린집합들의 범주 operatorname{Open}(X)를 생각하자. 이 경우, 대상은 열린집합들이고, 사상은 포함 관계 iota_{UV}colon Uhookrightarrow V들이다. 즉, 임의의 U,Vinoperatorname{Open}(X)에 대하여, hom(U,V)는 공집합이거나 아니면 iota_{UV}colon Uhookrightarrow V 하나의 원소만을 포함한다. 이다. 즉, 열린집합의 범주에서 U 위의 체는 하향으로 닫힌 U의 부분 집합들의 모임과 같다. 열린집합 범주에서의 그로텐디크 준위상 즉, 이는 일반적인 열린 덮개의 성질을 공리화한 것이다. 열린집합 범주에서의 그로텐디크 위상 >> 위상 공간의 큰 위치 위상 공간과 연속 함수들의 범주 operatorname{Top}를 생각하자. 이 위에 다음과 같은 그로텐디크 위상이 존재한다. 위상 공간 Xinoperatorname{Top}의 덮개 Phi={phicolonoperatorname{dom}phi o X}_{phiinPhi}는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수들의 집합이다. 이는 준표준 위상을 이룬다. 사이의 사상은 다음 성질을 만족시키는 연속 함수 chicolon Y_1 o Y_2이다. 이 경우, operatorname{Top}/X는 operatorname{Top}로부터 그로텐디크 위상을 물려받는다. 이 그로텐디크 위상을 갖춘 operatorname{Top}/X를 X의 큰 위치(big site)라고 한다. 스킴의 범주의 그로텐디크 위상 스킴들의 범주 operatorname{Sch} 위에는 다음과 같은 특별한 그로텐디크 위상들이 존재한다. 이들 모두 준표준 위상이다. 스킴 X에 대하여, 그 위의 조각 범주 operatorname{Sch}/X 위에는 이 위상들의 유도 위상들을 부여할 수 있다. 각 표수 p에 대하여, 유한체 mathbb F_p 또는 mathbb Q 위의 분리 거듭제곱 농화(-濃化, divided power thickening)들의 범주 위에, operatorname{Sch} 위의 위상 가운데 하나를 사용하여 위상을 줄 수 있다. 이러한 위치들을 무한소 위치(infinitesimal site, crystalline site)라고 하며, 결정 코호몰로지(crystalline cohomology)를 정의하는 데 쓰인다. 역사 1949년에 앙드레 베유는 유한체 위의 대수다양체에 대한 베유 추측을 제시하였고, 이들을 증명하려면 베유 코호몰로지라는 새로운 코호몰로지 이론이 필요하다고 제안하였다. 그러나 베유 자신은 베유 코호몰로지를 정의하는 데 실패하였다. 1958년에 장피에르 세르는 베유 코호몰로지를 정의하기 위하여 등자명 피복(isotrivial cover)의 개념을 도입하였다. (이는 오늘날 에탈 사상의 개념과 관련돼 있다.) 세르는 이 개념을 1958년 4월 28일 세미나에서 강의하였고, 이를 청강하던 알렉산더 그로텐디크는 이를 사용하여 베유 코호몰로지를 성공적으로 정의할 수 있다고 확신하였다. 그러나 세르는 그로텐디크와 달리 이에 대하여 회의적이었다고 한다. 이것이 그로텐디크 위상을 다루는 최초의 문헌이다. 이후 위치와 그로텐디크 위상의 이론은 마리 숲 대수기하학 세미나(Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie) 3권(1970년) ·4권(1972년)에서 자세하게 다뤄졌다.